Question

已知△ABC中，

cosA

cosB

=

AC

BC

=

3

4

，
（1）求證：∠C=90°； 
（2）如圖，以C為原點，CB，CA分別在x軸和y的正半軸，當(dāng)AB=5時，求△ABC的內(nèi)切圓的方程？
（3）若AB=t（t＞0），P為內(nèi)切圓上的一個動點，求PA²+PB²+PC²的最大值和此時的P點坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化簡已知的等式，變形后得到sin2A=sin2B，可得A=B或A與B互余，由cosA與cosB的比值不為1，得到A與B不相等，故A與B互余，可得C為直角，得證；
（2）由C為直角，利用勾股定理，AB的值及AC與BC的比值，求出AC及BC的值，設(shè)三角形內(nèi)切圓的圓心為M，連接MA，MB，MC，把三角形分為三個三角形，三個三角形的高為內(nèi)切圓的半徑，利用三個三角形面積之和等于三角形ABC的面積列出關(guān)于r的方程，求出方程的解即可得到r的值，得到M的坐標(biāo)，由圓心和半徑寫出內(nèi)切圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（3）由AC與BC的比值，設(shè)出AC=3a，BC=4a，進(jìn)而得到A和B的坐標(biāo)，又AB=t，利用勾股定理得到a與t的關(guān)系式，用t表示出a，且表示出此時內(nèi)切圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），利用兩點間的距離公式表示出PA²+PB²+PC²，整理后，將設(shè)出的圓標(biāo)準(zhǔn)方程代入得到PA²+PB²+PC²=-2ax+22a²，可得當(dāng)x=0時，PA²+PB²+PC²取得最大，把x=0代入此時y的值，得到P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由正弦定理得，

sinA

sinB

=

BC

AC

，又

cosA

cosB

=

AC

BC

=

3

4

∴

cosA

cosB

=

sinB

sinA

，即sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，
解得：A=B或A+B=90°，
又

cosA

cosB

=

AC

BC

=

3

4

，
∴A≠B，
∴∠C=90°；
（2）由（1）得，AC²+BC²=AB²，又

AC

BC

=

3

4

，AB=5，
∴AC=3，BC=4，
設(shè)圓心為M，連接MA，MB，MC，
由S△ABC=

1

2

(AB+BC+AC)•r=

1

2

CB•CA，
解得r=1，
∴M（1，1），
∴圓的方程為：（x-1）²+（y-1）²=1；
（3）設(shè)P（x，y），A（0，3a），B（4a，0），（a＞0），AB=t，
∴a=

t

5

，此時內(nèi)切圓方程為：（x-a）²+（y-a）²=a²，
∴PA²+PB²+PC²=x²+（y-3a）²+（x-4a）²+y²+x²+y²=3[（x-a）²+（y-a）²]-2ax+19a²，
∵P（x，y）為內(nèi)切圓上的點，
∴PA²+PB²+PC²=3a²-2ax+19a²=-2ax+22a²，又0≤x≤2a，
∴當(dāng)x=0時，PA²+PB²+PC²的最大值=22a2=

22

25

t2，
所以，當(dāng)P坐標(biāo)為(0，

t

5

)時，PA²+PB²+PC²的最大值為

22

25

t2．

點評：此題考查了正弦定理，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直角三角形的性質(zhì)，兩點間的距離公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵，其中第三問表示出PA²+PB²+PC²，整理后注意將（x-a）²+（y-a）²=a²代入來解決問題．