Question

研究人員發(fā)現(xiàn)某種特別物質的溫度y（單位：攝氏度）隨時間x（單位：分鐘）的變化規(guī)律是：y=m2^x+2^1-x（x≥0，并且m＞0）．
（1）如果m=2，求經過多少時間，該溫度為5攝氏度；
（2）若該物質的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）將m=2，x=5代入y=m2^x+2^1-x（x≥0，并且m＞0）．解指數(shù)方程即可求出x的值；
（2）問題等價于m2^x+2^1-x≥2（t≥0）恒成立，求出m2^x+2^1-x的最小值，只需最小值恒大于等于2建立關系，解之即可求出m的范圍．
解答：解：（1）由題意，當m=2，則2•2^x+2^1-x=5----------------（2分）
解得x=1或x=-1；  由x≥0，∴x=1-----------（5分）
故經過1時間，溫度為5攝氏度；-------------------------------（6分）
（2）由題意得m2^x+2^1-x≥2對一切x≥0恒成立，-------（7分）
則 由2^x＞0，得 ---------------------（9分）
令t=2^-x則0＜t≤1，------------------（11分）
當時，取得最大值為；-------------------------（12分）
∴故的取值范圍為----------------（14分）
點評：本題的考點是函數(shù)模型的選擇與運用，主要考查了函數(shù)模型的選擇，不等式的實際應用，以及恒成立問題，同時考查了轉化與化歸的思想，屬于中檔題．