Question

一次函數(shù)r（x）=ax+b的圖象過原點，函數(shù)h（x）=lnx定義在（1，e）（e為自然對數(shù)的底）上．
（Ⅰ）若f（x）=r（x）+h（x）有極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）記函數(shù)g（x）=x³-x-2，x∈（1，e），在（Ⅰ）的條件下，證明在函數(shù)f（x）圖象上任取點A，總能在g（x）圖象上找到相應(yīng)的點B，使A、B連線平行于x軸．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)圖象過原點，得到函數(shù)的解析式，對函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，得到x的值，列出表格寫出導(dǎo)函數(shù)在各個區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)有極值做出a的范圍．
（II）根據(jù)上一問所得的結(jié)果，函數(shù)有極值，進而做出函數(shù)的值域，同理可以做出g（x）的值域，根據(jù)兩個圖象上總存在兩點的連線與x 平行，得到兩個函數(shù)的值域是一個包含關(guān)系．

解答：解：（Ⅰ）∵r（x）=ax+b的圖象過原點，
∴b=0，∴f（x）=ax+lnx．
求導(dǎo)可得f′(x)=a+

1

x

，
令f′(x)=a+

1

x

=0，可得a=-

1

x

．
∵x∈（1，e），∴-

1

x

∈(-1，-

1

e

)，∴a∈(-1，-

1

e

)．
當(dāng)x變化時，f'（x）、f（x）的變化情況如下：

x	(1，- 1 a )	- 1 a	(- 1 a ，e)
f'（x）	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

∴實數(shù)a的取值范圍是（-1，-

1

e

）
（II）由（I）知f（x）有極大值f（-

1

a

）=-1+ln（-

1

a

）
∵f（1）=a，f（e）=ae+1
∴-1＜

1

1-e

＜-

1

e

當(dāng)

1

1-e

＜a＜-

1

e

時，函數(shù)的值域是[a，-1+ln（-

1

a

）]
同理知g（x）在（1，e）上的值域是（-2，e³-e-2）
e³-e-2＞0，a∈(-1，-

1

e

)，-1+ln(-

1

a

)＜0，
所以e³-e-2＞-1+ln(-

1

a

)，-2＜ae+1，-2＜a，
∴(ae+1， -1+ln(-

1

a

)]⊆（-2，e³-e-2），(a， -1+ln(-

1

a

)]⊆（-2，e³-e-2），
∴?x₁∈（1，e），?x₀∈（1，e），使得g（x₀）=f（x₁）成立．
∴在函數(shù)f（x）圖象上任取點A，總能在g（x）圖象上找到相應(yīng)的點B，
使A、B連線平行于x軸．

點評：本題考查函數(shù)在某一點取得極值的條件，本題解題的關(guān)鍵是得到函數(shù)f（x）的值域，針對于兩個函數(shù)的值域之間的關(guān)系要注意理解．