已知正數(shù)列{an}滿足 (n∈N),求證:當(dāng)n≥2時,an≤.

思路解析：這是涉及自然數(shù)的不等式證明題，所以想到用數(shù)學(xué)歸納法.

證明：∵an＞0,an＜,

∴≤(1-).

①當(dāng)n=1時,≤(1-)≤［(+1-)］2=,

∴a2≤()2=()2.

②假設(shè)n=k時,有ak≤()2成立,

則≤(1-)≤(1-).

∴≥+≥+.

解得ak+1≤()2成立,綜上即證.


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：數(shù)列{an}滿足an+1=
4an-2
an+1
，其中n∈N，首項為a0．
（1）若對于任意的n∈N，數(shù)列{an}還滿足an=p（p為常數(shù)），試求a0的值；
（2）若存在a0，使數(shù)列{an}滿足：對任意正整數(shù)n，均有an＜an+1，求a0的取值范圍．；
（3）若a0=4，求滿足不等式an≤2
16
65
的自然數(shù)n的集合

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正數(shù)列{an}中的前n項和Sn滿足2Sn=an2+an-2（n∈N*）．
（1）求a1，a2，a3的值，并求{an}的通項公式；
（2）設(shè)bn=2n•an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn；
（3）設(shè)cn=4n+(-1)n-1λ•2an（λ為非零整數(shù)，n∈N*），試確定λ的值，使得對任意n∈N*，有cn+1＞cn恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，如果存在常數(shù)T（T∈N+），使得an+T=an對于任意正整數(shù)均成立，那么就稱數(shù)列{an}為周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列{an}的周期．已知周期數(shù)列{an}滿足xn+2=|xn+1-xn|（n∈N*），若x1=1，x2=a（a≤1，a≠0），當(dāng)數(shù)列{xn}的周期為3時，則數(shù)列{xn}的前2015項的和S2015為（　�。�
A、1344B、1343C、1342D、1341

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：教材完全解讀　高中數(shù)學(xué)　必修5(人教B版課標(biāo)版) 人教B版課標(biāo)版 題型：044

已知正數(shù)列{an}滿足＝an＋1．

(1)求a1，a2，a3；

(2)猜出an的表達(dá)式，并證明結(jié)論．

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