（14分）設A（），B（）是橢圓的兩點， ，，且，橢圓的離心率，短軸長為2，O為坐標原點。

（1）求橢圓方程；

（2）若存在斜率為的直線AB過橢圓的焦點F（）（為半焦距），求的值；

（3）試問AOB的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由。

 

【答案】

 

解： （1）；（2）；（3），說明面積為定值。

【解析】本試題主要是考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關系的運用。

（1）利用橢圓的離心率，短軸長為2，可以得到a,b,c的關系式，進而求解得到橢圓的方程。

（2）利用直線與橢圓的方程聯(lián)立方程組結合韋達定理和向量的數(shù)量積為零，得到k的值

（3）設直線返程與橢圓聯(lián)立，借助于向量的數(shù)量積關系式，進而確定三角形的面積為定值。

解： （1）

（2）設直線AB: 聯(lián)立方程組與然后得到關于x的一元二次方程

因為，那么利用向量的坐標關系得到

（3）設直線AB: 聯(lián)立方程組與然后得到關于x的一元二次方程

因為，那么利用向量的坐標關系得到

AOB的面積，說明面積為定值。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設F1，F(xiàn)2分別為橢C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點，橢圓C上的點A(1，
3
2
)到兩點的距離之和等于4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程和焦點坐標；
（Ⅱ）設點P是（Ⅰ）中所得橢圓上的動點Q(0.
1
2
)求|PQ|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上任意一點，若以坐標原點為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點，且△PF1F2的周長為4+2
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線的l是圓O：x2+y2=
4
3
上動點P（x0，y0）（x0-y0≠0）處的切線，l與橢圓C交于不同的兩點Q，R，證明：∠QOR的大小為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•浦東新區(qū)二模）（1）設橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1與雙曲線C2：9x2-
9y2
8
=1有相同的焦點F1、F2，M是橢圓C1與雙曲線C2的公共點，且△MF1F2的周長為6，求橢圓C1的方程；
我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”．
（2）如圖，已知“盾圓D”的方程為y2=
4x            (0≤x≤3)
-12(x-4)  (3＜x≤4)
．設“盾圓D”上的任意一點M到F（1，0）的距離為d1，M到直線l：x=3的距離為d2，求證：d1+d2為定值； 
（3）由拋物線弧E1：y2=4x（0≤x≤
2
3
）與第（1）小題橢圓弧E2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（
2
3
≤x≤a）所合成的封閉曲線為“盾圓E”．設過點F（1，0）的直線與“盾圓E”交于A、B兩點，|FA|=r1，|FB|=r2且∠AFx=α（0≤α≤π），試用cosα表示r1；并求
r1
r2
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設命題p：x=1是方程2ax2+a2x-3=0的一個根，命題q：點B(a，
3
2
)是橢
x2
4
+
y2
3
=1上的一點，若p∨q是真命題，p∧q是假命題，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆海南省高二上學期期末文科數(shù)學試題（解析版） 題型：解答題

(本小題滿分12分)已知A,B兩點是橢圓 與坐標軸正半軸的兩個交點.

(1)設為參數(shù)，求橢圓的參數(shù)方程；

(2)在第一象限的橢圓弧上求一點P，使四邊形OAPB的面積最大，并求此最大值.

 

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