Question

在直角坐標平面上給定一曲線y²=2x．
（ 1）設點A的坐標為（

2

3

，0），求曲線上距點A最近的點P坐標及相應的距離|PA|；
（2）設點A的坐標為（a，0）a∈R，求曲線上的點到點A距離的最小值d，并寫出d=f（a）的函數表達式．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：計算題,函數的性質及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設P（x，y）為拋物線上任一點，進而根據勾股定理可得|PA|²=（x-

2

3

）²+y²，利用x的范圍求得|PA|的最小值；
（2）依題意可得）|PA|²=（x-a）²+y²=分析當a-1≥0和a-1＜0時|PA|的最小值，進而可求得d．

解答： 解：（1）設點P（x，y）是拋物線y²=2x上任意一點，
∴|PA|²=（x-

2

3

）²+y²=x²-

4

3

x+

4

9

+2x=（x+

1

3

）²+

1

3

，
當x=0時，|PA|_min=

2

3

，此時P（0，0）．
（2）設P（x，y）為y²=2x上任意一點，
∴|PA|²=（x-a）²+y²=x²-2ax+a²+2x=[x-（a-1）]²+2a-1（x≥0）
①當a≥1時，x=a-1≥0，即a≥1處|PA|_min=

2a-1

；
②當a＜1時，x=0，|PA|_min=|a|．
綜上所述，d=

2a-1 ，a≥1 |a|，a＜1

．

點評：本題主要考查拋物線的性質，綜合了函數的定義域和值域的問題，要注意對a的范圍進行分類討論，屬于中檔題．