Question

如圖，P是拋物線y²=2x上的動點，點B，C在y軸上，圓（x-1）²+y²=1內切于△PBC，求△PBC面積的最小值．

Answer 1

分析：設P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），設b＞c．直線PB：y-b=

y0-b

x0

x，化簡，得（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，由圓心（1，0）到直線PB的距離是1，知

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，由此導出（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，同理，（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，所以（b-c）²=

4x02+4y02-8x0

(x0-2)2

，從而得到S_△PBC=

1

2

(b-c)x0，由此能求出△PBC面積的最小值．

解答：解：設P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），設b＞c．
直線PB的方程：y-b=

y0-b

x0

x，
化簡，得（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，
∵圓心（1，0）到直線PB的距離是1，
∴

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，
∴（y₀-b）²+x₀²=（y₀-b）²+2x₀b（y₀-b）+x₀²b²，
∵x₀＞2，上式化簡后，得
（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，
同理，（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，
∴b+c=

-2y0

x0-2

，bc=

-x0

x0-2

，
∴（b-c）²=

4x02+4y02-8x0

(x0-2)2

，
∵P（x₀，y₀）是拋物線上的一點，
∴y02=2x0，
∴（b-c）²=

4x02

(x0-2)2

，b-c=

2x0

x0-2

，
∴S_△PBC=

1

2

(b-c)x0
=

x0

x0-2

•x0
=（x₀-2）+

4

x0-2

+4
≥2

4

+4=8．
當且僅當x0-2=

4

x0-2

時，取等號．
此時x₀=4，y₀=±2

2

．
∴△PBC面積的最小值為8．

點評：本昰考查三角形面積的最小值的求法，具體涉及到拋物線的性質、拋物線和直線的位置關系、圓的簡單性質、均值定理等基本知識，綜合性強，難度大，對數學思想的要求較高，解題時要注意等價轉化思想的合理運用．