Question

已知曲線C₁：ρ=2sinθ，曲線（t為參數(shù)）
（I）化C₁為直角坐標(biāo)方程，化C₂為普通方程；
（II）若M為曲線C₂與x軸的交點，N為曲線C₁上一動點，求|MN|的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I） 利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得C₁為直角坐標(biāo)方程；消去參數(shù)t得曲線C₂的普通方程．
（II）先在直角坐標(biāo)系中算出曲線C₂與x軸的交點的坐標(biāo)，再利用直角坐標(biāo)中結(jié)合圓的幾何性質(zhì)即可求|MN|的最大值．
解答：解：（I）曲線C₁的極坐標(biāo)化為ρ²=2ρsinθ
又x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ
所以曲線C₁的直角坐標(biāo)方程x²+y²-2y=0
因為曲線C₂的參數(shù)方程是，
消去參數(shù)t得曲線C₂的普通方程4x+3y-8=0
（II）因為曲線C₂為直線
令y=0，得x=2，即M點的坐標(biāo)為（2，0）
曲線C₁為圓，其圓心坐標(biāo)為C₁（0，1），半徑r=1，則
∴，|MN|的最大值為
點評：本題考查點的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化及參數(shù)方程與普通方程的互化，能在直角坐標(biāo)系中利用圓的幾何性質(zhì)求出最值，屬于基礎(chǔ)題．