Question

已知函數(shù)f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x，x∈[

π

4

，

π

2

]．
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式化簡(jiǎn)，再利用差角的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)，可得f(x)=1+2sin(2x-

π

3

)，根據(jù)已知角的范圍，確定2x-

π

3

∈ [

π

6

，

2π

3

]，從而得解；
（2）根據(jù)）2x-

π

3

∈ [

π

6

，

2π

3

]，可得2x-

π

3

∈ [

π

6

，

π

2

]時(shí)，函數(shù)單調(diào)增，2x-

π

3

∈ [

π

2

，

2π

3

]時(shí)，函數(shù)單調(diào)減，故可解．

解答：解：（1）由題意，函數(shù)可化為：f(x)=1+sin2x-

3

cos2x=1+2sin(2x-

π

3

)
∵x∈[

π

4

，

π

2

]
∴2x-

π

3

∈ [

π

6

，

2π

3

]
∴sin(2x-

π

3

)∈ [

1

2

，1]
∴f（x）∈[2，3]
∴f（x）的最大值和最小值分別為3，2；
（2）∵2x-

π

3

∈ [

π

6

，

2π

3

]
∴2x-

π

3

∈ [

π

6

，

π

2

]時(shí)，函數(shù)單調(diào)增，2x-

π

3

∈ [

π

2

，

2π

3

]時(shí)，函數(shù)單調(diào)減．
∴函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為[

π

4

，

5π

12

]，函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為[

5π

12

，π]

點(diǎn)評(píng)：本題以三角函數(shù)為載體，考查三角函數(shù)的最值，考查函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)的化簡(jiǎn)．