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6.口袋中裝有2個白球和n(n≥2,n∈N*)個紅球,每次從袋中摸出2個球(每次摸球后把這2個球放回口袋中),若摸出的2個球顏色相同則為中獎,否則為不中獎.
(Ⅰ)用含n的代數(shù)式表示1次摸球中獎的概率;
(Ⅱ)若n=3,求3次摸球中恰有1次中獎的概率;
(Ⅲ)記3次摸球中恰有1次中獎的概率為f(p),當f(p)取得最大值時,求n的值.

分析 (Ⅰ)設(shè)“1次摸球中獎”為事件A,利用互斥事件概率加法公式能求出用含n的代數(shù)式表示1次摸球中獎的概率.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得若n=3,則1次摸球中獎的概率為p=25,由此能求出3次摸球中,恰有1次中獎的概率.
(Ⅲ)設(shè)“1次摸球中獎”的概率為p,則3次摸球中,恰有1次中獎的概率為f(p)=3p3-6p2+3p,(0<p<1),由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出當f(p)取得最大值時,n的值.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)“1次摸球中獎”為事件A,
則P(A)=C22+C2nC2n+2=n2n+2n2+3n+2
(Ⅱ)由(Ⅰ)得若n=3,則1次摸球中獎的概率為p=25,
∴3次摸球中,恰有1次中獎的概率為P3(1)=C13p1p2=3×25×352=54125
(Ⅲ)設(shè)“1次摸球中獎”的概率為p,
則3次摸球中,恰有1次中獎的概率為:
f(p)=C13p1p2=3p3-6p2+3p,(0<p<1),
∵f′(p)=9p2-12p+3=3(p-1)(3p-1),
∴當p∈(0,13)時,f(p)取得最大值,
n2n+2n2+3n+2=13,解得n=2或n=1(舍),
∴當f(p)取得最大值時,n的值為2.

點評 本題考查概率的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用.

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