Question

6．口袋中裝有2個白球和n（n≥2，n∈N^*）個紅球，每次從袋中摸出2個球（每次摸球后把這2個球放回口袋中），若摸出的2個球顏色相同則為中獎，否則為不中獎．
（Ⅰ）用含n的代數(shù)式表示1次摸球中獎的概率；
（Ⅱ）若n=3，求3次摸球中恰有1次中獎的概率；
（Ⅲ）記3次摸球中恰有1次中獎的概率為f（p），當f（p）取得最大值時，求n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)“1次摸球中獎”為事件A，利用互斥事件概率加法公式能求出用含n的代數(shù)式表示1次摸球中獎的概率．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得若n=3，則1次摸球中獎的概率為p=$\frac{2}{5}$，由此能求出3次摸球中，恰有1次中獎的概率．
（Ⅲ）設(shè)“1次摸球中獎”的概率為p，則3次摸球中，恰有1次中獎的概率為f（p）=3p³-6p²+3p，（0＜p＜1），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出當f（p）取得最大值時，n的值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)“1次摸球中獎”為事件A，
則P（A）=$\frac{{C}_{2}^{2}+{C}_{n}^{2}}{{C}_{n+2}^{2}}$=$\frac{{n}^{2}-n+2}{{n}^{2}+3n+2}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得若n=3，則1次摸球中獎的概率為p=$\frac{2}{5}$，
∴3次摸球中，恰有1次中獎的概率為P₃（1）=${C}_{3}^{1}p（1-p）^{2}$=3×$\frac{2}{5}×（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{54}{125}$．
（Ⅲ）設(shè)“1次摸球中獎”的概率為p，
則3次摸球中，恰有1次中獎的概率為：
f（p）=${C}_{3}^{1}p（1-p）^{2}$=3p³-6p²+3p，（0＜p＜1），
∵f′（p）=9p²-12p+3=3（p-1）（3p-1），
∴當p∈（0，$\frac{1}{3}$）時，f（p）取得最大值，
令$\frac{{n}^{2}-n+2}{{n}^{2}+3n+2}$=$\frac{1}{3}$，解得n=2或n=1（舍），
∴當f（p）取得最大值時，n的值為2．

點評 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．