Question

如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，H是正方形AA₁B₁B的中心，AA₁=2

2

，C₁H⊥平面AA₁B₁B，且C₁H=

5

．
（1）求異面直線AC與A₁B₁所成角的余弦值；
（2）求二面角A-A₁C₁-B₁的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間角

分析：（1）通過建立空間直角坐標系，利用異面直線的方向向量的夾角即可得出；
（2）先求出兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角的余弦值．

解答： 解：（1）如圖所示，以點B為坐標原點，建立空間直角坐標系．
依題意，得A（2

2

，0，0），B（0，0，0），H（

2

，

2

，0），C（

2

，-

2

，

5

），A₁（2

2

，2

2

，0），B₁（0，2

2

，0），C₁（

2

，

2

，

5

）．
∴

AC

=（-

2

，-

2

，

5

），

A1B1

=（-2

2

，0，0），
∴cos＜

AC

，

A1B1

＞=

4

3×2 2

=

2

3

．
∴異面直線AC與A₁B₁所成角的余弦值為

2

3

．
（2）

AA1

=（0，2

2

，0），

A1C1

=（-

2

，-

2

，

5

）．
設(shè)平面AA₁C₁的法向量

m

=（x，y，z），則

- 2 x- 2 y+ 5 z=0 2 2 y=0

，
可得

m

=（

5

，0，

2

）．
同理可得面A₁B₁C₁的法向量

n

=（0，

5

，

2

）．
于是cos＜

m

，

n

＞=

2

7 × 7

=

2

7

，
∴二面角A-A₁C₁-B₁的余弦值為-

2

7

．…（12分）

點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標系并利用異面直線的方向向量的夾角求異面直線所成的角、兩個平面的法向量的夾角求二面角的方法是解題的關(guān)鍵．