Question

（2006•黃浦區(qū)二模）已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=(

3

4

)n-1[(

3

4

)n-1-1](n∈N+)．求
（1）求數(shù)列{a_n}中的最大項(xiàng)及其值；  （2）求數(shù)列{a_n}中的最小項(xiàng)及其值．

Answer 1

分析：（1）由已知中數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=(

3

4

)n-1[(

3

4

)n-1-1](n∈N+)．我們可以分析出當(dāng)n=1時(shí)，a_n=0，當(dāng)n＞1時(shí)，a_n＜0，進(jìn)而得到數(shù)列{a_n}中的最大項(xiàng)為a₁；
（2）根據(jù)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=(

3

4

)n-1[(

3

4

)n-1-1](n∈N+)其相乘的兩項(xiàng)的和為定值，故我們可以利用基本不等式求出-a_n的范圍，進(jìn)而得到數(shù)列{a_n}中的最小項(xiàng)及其值．

解答：解：（1）∵an=(

3

4

)n-1[(

3

4

)n-1-1](n∈N+)．
當(dāng)n=1時(shí)，a1=(

3

4

)0[(

3

4

)0-1]=0
當(dāng)n＞1時(shí)，(

3

4

)n-1＞0，(

3

4

)n-1-1＜0，則an=(

3

4

)n-1[(

3

4

)n-1-1](n∈N+)＜0
故數(shù)列{a_n}中的最大項(xiàng)為a₁=0，
（2）∵an=(

3

4

)n-1[(

3

4

)n-1-1](n∈N+)≤0
∴-an=(

3

4

)n-1[1-(

3

4

)n-1]≥0
∴-an≤(

( 3 4 )n-1+[1-( 3 4 )n-1]

2

)2=

1

4

∵3＜log

3

4

1

2

+1＜4
當(dāng)n=3時(shí)，a3=(

3

4

)2[(

3

4

)2-1]=-

63

256

當(dāng)n=4時(shí)，a4=(

3

4

)3[(

3

4

)3-1]=-

999

4096

∴求數(shù)列{a_n}中的最小項(xiàng)為a₃=-

63

256

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列的函數(shù)特性，數(shù)列的通項(xiàng)公式，基本不等式的應(yīng)用，其中（2）中觀察分析數(shù)列通項(xiàng)公式中，相乘的兩項(xiàng)的和為定值，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為基本不等式應(yīng)用問題，是解答本題的關(guān)鍵，但要注意基本不等式有兩個(gè)數(shù)均為正數(shù)的限制．