Question

如圖，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的各棱長(zhǎng)都相等，D、E分別是CC₁和AB₁的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上且滿足BF∶FC=1∶3 

(1)若M為AB中點(diǎn)，求證  BB₁∥平面EFM；

(2)求證  EF⊥BC；

 (3)求二面角A₁—B₁D—C₁的大小   

Answer 1

(1)證明 連結(jié)EM、MF，∵M、E分別是正三棱柱的棱AB和AB₁的中點(diǎn)，

∴BB₁∥ME，又BB₁平面EFM，∴BB₁∥平面EFM 

(2)證明  取BC的中點(diǎn)N，連結(jié)AN由正三棱柱得  AN⊥BC，

又BF∶FC=1∶3，∴F是BN的中點(diǎn)，故MF∥AN，

∴MF⊥BC，而BC⊥BB₁，BB₁∥ME 

∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，

又EF平面EFM，∴BC⊥EF 

(3)解  取B₁C₁的中點(diǎn)O，連結(jié)A₁O知，A₁O⊥面BCC₁B₁，由點(diǎn)O作B₁D的垂線OQ，垂足為Q，連結(jié)A₁Q，由三垂線定理，A₁Q⊥B₁D，故∠A₁QD為二面角A₁—B₁D—C的平面角，易得∠A₁QO=arctan 

解析:

見詳解