Question

如圖：A、B兩城相距100km，某天燃?xì)夤�司計劃在兩地之間建一天燃?xì)庹綝 給A、B兩城供氣．已知D地距A城x km，為保證城市安全，天燃?xì)庹揪鄡沙鞘械木嚯x均不得少于10km．已知建設(shè)費用y （萬元）與A、B兩地的供氣距離（km）的平方和成正比，當(dāng)天燃?xì)庹綝距A城的距離為40km時，建設(shè)費用為1300萬元．（供氣距離指天燃?xì)庹揪嗟匠鞘械木嚯x）
（1）把建設(shè)費用y（萬元）表示成供氣距離x （km）的函數(shù)，并求定義域；
（2）天燃?xì)夤�氣站建在距A城多遠(yuǎn)，才能使建設(shè)供氣費用最小．最小費用是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)建設(shè)費用y （萬元）與A、B兩地的供氣距離（km）的平方和成正比，假設(shè)函數(shù)y=k[x²+（100-x）²]，利用當(dāng)天燃?xì)庹綝距A城的距離為40km時，建設(shè)費用為1300萬元，確定比例系數(shù)，根據(jù)天燃?xì)庹揪鄡沙鞘械木嚯x均不得少于10km，確定函數(shù)的定義域；
（2）利用配方法，結(jié)合函數(shù)的定義域，可求建設(shè)供氣費用最�。�

解答：解：（1）設(shè)比例系數(shù)為k，則y=k[x²+（100-x）²]（10≤x≤90）．…（3分）
（不寫定義域扣1分）
又x=40，y=1300，所以1300=k（40²+60²），即k=

1

4

，…（5分）
所以y=

1

4

[x2+(100-x)2]=

1

2

(x2-100x+5000)（10≤x≤90）．…（7分）
（2）由于y=

1

2

(x2-100x+5000)=

1

2

(x-50)2+1250，…（10分）
所以當(dāng)x=50時，y有最小值為1250萬元．…（11分）
所以當(dāng)供氣站建在距A城50km，電費用最小值1250萬元．…（12分）

點評：本題考查的重點是建立函數(shù)的模型，考查配方法求函數(shù)的最值，應(yīng)注意函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題．