Question

9．已知以A為圓心的圓（x-2）²+y²=64上有一個動點M，B（-2，0），線段BM的垂直平分線交AM于點P，點P的軌跡為E．
（Ⅰ）求軌跡E的方程；
（Ⅱ）過A點作兩條相互垂直的直線l₁，l₂分別交曲線E于D，E，F，G四個點，求|DE|+|FG|的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接PB，依題意得PB=PM，從而推導出點P的軌跡E是以A，B為焦點，長軸長為4的橢圓，由此能求出E的軌跡方程．
（Ⅱ） 當直線l₁，l₂中有一條直線的斜率不存在時，|DE|+|FG|=6+8=14，當直線l₁的斜率存在且不為0時，設直線l₁的方程y=k（x-2），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\end{array}\right.$，整理得（3+4k²）x²-16k²x+16k²-48=0，由此利用韋達定理、弦長公式，結合題意能求出|DE|+|FG|的取值范圍．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）連接PB，依題意得PB=PM，所以PB+PA=PM=8
所以點P的軌跡E是以A，B為焦點，長軸長為4的橢圓，
所以a=4，c=2，$b=2\sqrt{3}$，
所以E的軌跡方程是$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$． …（4分）
（Ⅱ） 當直線l₁，l₂中有一條直線的斜率不存在時，|DE|+|FG|=6+8=14，
當直線l₁的斜率存在且不為0時，設直線l₁的方程y=k（x-2），設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\end{array}\right.$，整理得（3+4k²）x²-16k²x+16k²-48=0…（6分）
${x_1}+{x_2}=\frac{{16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{16{k^2}-48}}{{3+4{k^2}}}$，
所以DE=$\sqrt{（1+{k^2}）{{（{x_1}-{x_2}）}^2}}$=$\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\frac{{24（1+{k^2}）}}{{3+4{k^2}}}$，…（8分）
設直線l₂的方程為$y=-\frac{1}{k}（x-2）$，
所以$|{FG}|=\frac{{24（1+{k^2}）}}{{4+3{k^2}}}$，
所以$|{DE}|+|{FG}|=\frac{{168{{（{k^2}+1）}^2}}}{{（4+3{k^2}）（3+4{k^2}）}}$，…（9分）
設t=k²+1，所以t≥1，所以$|{DE}|+|{FG}|=\frac{168}{{12+\frac{t-1}{t^2}}}$，
因為t≥1，所以0≤$\frac{t-1}{{t}^{2}}$$≤\frac{1}{4}$，所以|DE|+|FG|的取值范圍是[$\frac{96}{7}，14$]．…（12分）

點評 本題考查軌跡方程的求法，考查兩線段長的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質、弦長公式、韋達定理的合理運用．