Question

10．直三棱柱A₁B₁C₁-ABC，$∠ACB=\frac{π}{2}，AC=BC=2，C{C_1}=2\sqrt{2}$，E，F(xiàn)，H為AC，B₁C₁，BB₁的中點(diǎn)，
（1）證明：EF∥平面AA₁B₁B；
（2）求異面直線EF與C₁H所成角．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點(diǎn)O，連接OE，OB₁，證明B₁FEO是平行四邊形，可得EF∥B₁O，利用線面平行的判定定理證明EF∥平面AA₁B₁B；
（2）證明C₁H⊥平面CEF，即可求異面直線EF與C₁H所成角．

解答 （1）證明：取AB的中點(diǎn)O，連接OE，OB₁，則OE∥DC，OE=$\frac{1}{2}$DC，

∵F為B₁C₁的中點(diǎn)，
∴OE∥B₁F，OE=B₁F
∴B₁FEO是平行四邊形，
∴EF∥B₁O，
∵EF?平面AA₁B₁B，B₁O?平面AA₁B₁B，
∴EF∥平面AA₁B₁B；
（2）解：連接CF，則
∵CC₁=2$\sqrt{2}$，BC=2，F(xiàn)，H為B₁C₁，BB₁的中點(diǎn)
∴△CC₁F∽△C₁B₁H，
∴∠C₁CF=∠C₁B₁H，
∴C₁H⊥CF，
∵C₁H⊥CE，CE∩CF=C，
∴C₁H⊥平面CEF，
∵EF?平面CEF，
∴C₁H⊥EF，
∴異面直線EF與C₁H所成角為$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定，考查異面直線所成角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．