Question

設函數(shù),給出下列四個命題：
①當時，函數(shù)是單調函數(shù)
②當時，方程只有一個實根
③函數(shù)的圖象關于點對稱
④方程至多有3 個實根，其中正確命題的個數(shù)為

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

D

解析試題分析：因為f（x）=x|x|+bx+c=，對于①當x≥0時，f'（x）=2x+b≥0，所以y=f（x）遞增，當x＜0時，f'（x）＞0，所以y=f（x）遞增又y=f（0）=c連續(xù)．故當b≥0時，函數(shù)y=f（x）是單調函數(shù)； ①對．
對于②因為f（x）=當x≥0時無根，當x＜0時，有一根x=-．故當b=0，c＞0時，方程f（x）=0只有一個實根；②對．
對于③設g（x）=x|x|+bx，因為g（-x）=-x|-x|+b（-x）=-g（x），所以g（x）=x|x|+bx關于（0，0）對稱，又函數(shù)y=f（x）的圖象可以由g（x）=x|x|+bx的圖象上下平移c個單位得到．故函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（0，c）對稱；故③對．
對于④分各種情況來討論b，c，并求出對應方程的根，就可說明④成立．故④對．
故選 D．
考點：本試題主要考查了對帶絕對值的二次函數(shù)的綜合考查．
點評：解決該試題的關鍵是通常帶絕對值的函數(shù)研究其性質時，要去掉其絕對值符號進行.①去掉其絕對值符號，判斷出其在每一段內都單調且連續(xù)即可．
②把b=0，c＞0代入，去掉其絕對值符號，解對應方程即可得結論．
③利用g（x）=x|x|+bx關于（0，0）對稱，和g（x）=x|x|+bx與y=f（x）的關系可得結論．
④對于b，c分各種情況來討論，并求出對應方程的根，可下結論