Question

雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過F₁的直線與雙曲線左右兩支分別交于A、B兩點(diǎn)，若△ABF₂是等邊三角形，則雙曲線C的離心率為________．

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線的定義算出△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，由△ABF₂是等邊三角形得∠F₁AF₂=120°，利用余弦定理算出c=a，結(jié)合雙曲線離心率公式即可算出雙曲線C的離心率．
解答：根據(jù)雙曲線的定義，可得|BF₁|-|BF₂|=2a，
∵△ABF₂是等邊三角形，即|BF₂|=|AB|
∴|BF₁|-|BF₂|=2a，即|BF₁|-|AB|=|AF₁|=2a
又∵|AF₂|-|AF₁|=2a，
∴|AF₂|=|AF₁|+2a=4a，
∵△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，∠F₁AF₂=120°
∴|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²+2|AF₁|•|AF₂|cos120°
即4c²=4a²+16a²-2×2a×4a×（-）=28a²，解之得c=a，
由此可得雙曲線C的離心率e==
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題給出經(jīng)過雙曲線左焦點(diǎn)的直線被雙曲線截得弦AB與右焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的定義和簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．