Question

若函數f（x）與g（x）同在一個區(qū)間內取同一個自變量時，同時取得相同的最小值，則稱這兩個函數為“兄弟函數”，已知函數f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）與g（x）=

x2-x+1

x

是定義在區(qū)間[

1

2

，2]上的“兄弟函數”，那么f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上的最大值是

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：新定義,函數的性質及應用

分析：本題可以先用基本不等式求出函數g（x）的最大值，再根據題目中的新定義，得到函數f（x）的最大值．

解答： 解：∵g（x）=

x2-x+1

x

=x+

1

x

-1，
∴g′(x)=1-

1

x2

=

x2-1

x2

=

(x-1)(x+1)

x2

．
∵x∈[

1

2

，2]，
∴當

1

2

＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減；
當1＜x＜2時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增．
∴當x=1時，g（x）取最小值g（1）=1．
∵函數f（x）與g（x）同在一個區(qū)間內取同一個自變量時，同時取得相同的最小值，則稱這兩個函數為“兄弟函數”，
∴函數f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上最小值為f（1）=1．
∴點（1，1）為拋物線f（x）=x²+bx+c的頂點．
∴

- b 2 =1 4c-b2 4 =1

，
∴

b=-2 c=2

．
∴f（x）=x²-2x+2．
∴y=f（x）在區(qū)間[

1

2

，1]上單調遞減，在區(qū)間[1，2]上單調遞增．
∵f(

1

2

)=

5

4

，f（2）=2，
∴f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上的最大值是2．
故答案為：2．

點評：本題考查的是基本不等式和新定義函數的概念，本題難度適中，屬于中檔題．