Question

14．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=l（a＞b＞0）與雙曲線$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}$=l=1（m＞0，n＞0）有相同的焦點F₁（-c，O）和F₂ （c，0），點P是橢圓與雙曲線的一個交點，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，若$\frac{1}{2}$a²是m²與c²的等差中項，則該橢圓的離心率是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 利用橢圓、雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理、等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求出橢圓的離心率．

解答 解：不妨設(shè)|PF₁|＞|PF₂|，由已知可得$\left\{\begin{array}{l}|P{F_1}|+|P{F_2}|=2a\\|P{F_1}|-|P{F_2}|=2m\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}|P{F_1}|=a+m\\|P{F_1}|=a-m\end{array}\right.$．
又$∠{F_1}P{F_2}=\frac{π}{2}$，∴（a+m）²+（a-m）²=4c²，
∴a²+m²=2c²，聯(lián)立a²=c²+m²，得${a^2}=\frac{3}{2}{c^2}$，
即橢圓離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查橢圓的離心率，考查橢圓、雙曲線的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．