Question

9．若函數(shù)f（x）=$\frac{|x|-1}{|x-1|}$-kx不存在零點，則實數(shù)k的取值范圍是[-1，$\frac{\sqrt{2}-3}{7}$）．

Answer 1

分析 令f（x）=0得$\frac{|x|-1}{|x-1|}$=kx，作出g（x）與y=kx的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象判斷k的范圍．

解答 解：令f（x）=0得$\frac{|x|-1}{|x-1|}$=kx，
令g（x）=$\frac{|x|-1}{|x-1|}$=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＞1}\\{-1，0≤x＜1}\\{\frac{2}{x-1}+1，x＜0}\end{array}\right.$，作出g（x）與y=kx的函數(shù)圖象如圖所示：

設(shè)y=k₁x經(jīng)過點（1，-1），則k₁=-1，
設(shè)y=k₂x與g（x）在（-∞，0）上的圖象相切，切點為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-2}{（{x}_{0}-1）^{2}}={k}_{2}}\\{{y}_{0}={k}_{2}{x}_{0}}\\{{y}_{0}=\frac{2}{{x}_{0}-1}+1}\end{array}\right.$，解得x₀=-1-$\sqrt{2}$，k₂=$\frac{\sqrt{2}-3}{7}$，
∴-1≤k＜$\frac{\sqrt{2}-3}{7}$時，直線y=kx與g（x）的圖象無交點，即f（x）無零點．
故答案為[-1，$\frac{\sqrt{2}-3}{7}$）．

點評 本題考查了函數(shù)零點的個數(shù)判斷，零點個數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．