Question

如圖是一個(gè)2013×2013階矩陣，依照該矩陣中元素的規(guī)律，則元素100在此矩陣中總共出現(xiàn)了

6

 次．

Answer 1

分析：對(duì)題中矩陣進(jìn)行觀察，可得該矩陣從第二行起，第k（k≥2）行的數(shù)構(gòu)成以1為首項(xiàng)、公差為k-1的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，算出第k（k≥2）行、第m個(gè)數(shù)為a_km=mk-（m+k）+2．再對(duì)a_km=100的整數(shù)解加以計(jì)算，可得總共有6組k、m使得等比成立，由此可得本題答案．

解答：解：根據(jù)題意，該矩陣的第一行和第一列的數(shù)字均為1，
從第二行起，有如下規(guī)律：
第k（k≥2）行的數(shù)構(gòu)成以1為首項(xiàng)、公差d_k=k-1的等差數(shù)列．
∴該矩陣的第k（k≥2）行、第m個(gè)數(shù)為a_km=1+（m-1）（k-1）=mk-（m+k）+2．
令mk-（m+k）+2=100，可得mk-（m+k）=98，得m=

98+k

k-1

=1+

99

k-1

，
∵m、k是正整數(shù)，且k≥2、m≥2，
∴k-1為99的正約數(shù)，可得k-1=1，3，9，11，33，99，共6種情況．
當(dāng)k=2時(shí)，m=100；當(dāng)k=4時(shí)，m=34；當(dāng)k=10時(shí)，m=12；k=12時(shí)，m=10；k=34時(shí)，m=4；k=100時(shí)，m=2．
由此可得：共有6組m、n值滿足上述等式成立．
因此，元素100在此矩陣中總共出現(xiàn)了6次．
故選：6

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊的矩陣，求數(shù)100在該矩陣中出現(xiàn)的次數(shù)，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用的知識(shí)，屬于中檔題．