Question

14．已知直線l：x-y-4=0和圓C：x²+y²+2x-2y=0
（1）試判斷直線l與圓C的位置關系
（2）求與直線l和圓C都相切的半徑最小的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）求出圓心到直線的距離與半徑比較，即可得出結論；
（2）由題意過圓心（-1，1）與直線x-y-4=0垂直的直線方程為x+y=0，所求的圓的圓心在此直線上，所求的圓的半徑為$\sqrt{2}$，即可求出所求圓的方程．

解答 解：（1）圓C：x²+y²+2x-2y=0，可化為（x+1）²+（y-1）²=2，
∴圓x²+y²+2x-2y=0的圓心為（-1，1），半徑為$\sqrt{2}$，
圓心到直線的距離d=$\frac{|-1-1-4|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$＞$\sqrt{2}$，
∴直線l與圓C相離；                  
（2）由題意，過圓心（-1，1）與直線x-y-4=0垂直的直線方程為x+y=0，
所求的圓的圓心在此直線上，
又圓心（-1，1）到直線x-y-4=0的距離為d=$\frac{|-1-1-4|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
則所求的圓的半徑為$\sqrt{2}$，
設所求圓心坐標為（a，b）
則$\frac{|a-b-4|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，且a+b=0
解得a=1，b=-1，
∴與直線l和圓C都相切的半徑最小的圓的方程為（x-1）²+（y+1）²=2

點評 本題是中檔題，考查直線與圓的位置關系，數形結合的思想，考查計算能力．