若橢圓E1：和橢圓E2：滿足，則稱這兩個橢圓相似，m是相似比．
（Ⅰ）求過（且與橢圓相似的橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)過原點的一條射線l分別于（I）中的兩橢圓交于A、B兩點（點A在線段OB上）．求|OA|•|OB|的最大值和最小值．
【答案】分析：（1）直接根據(jù)定義得到有解得a，b．即可得到與橢圓相似的橢圓方程；
（2）先求出當(dāng)射線l的斜率不存在時求出結(jié)論；再對當(dāng)射線l的斜率存在時，設(shè)其方程y=kx，聯(lián)立直線與兩個橢圓方程分別求出線段的長度，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出|OA|•|OB|的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)與相似的橢圓的方程，
有⇒．
所求方程是．…（6分）
（Ⅱ）當(dāng)射線l的斜率不存在時．
設(shè)點P坐標(biāo)P（0，y），則y2=4，y=±2．即P（0，±2）．…（8分）
當(dāng)射線l的斜率存在時，設(shè)其方程y=kx，P（x，y）
由A（x1，y1），B（x2，y2）則得，
∴，
同理．…（10分）
當(dāng)l的斜率不存在時，，
當(dāng)l的斜率存在時，，
∴4＜|OA|•|OB|≤8，
綜上，|OA|•|OB|的最大值是8，最小值是4．…（12分）
點評：本題綜合考查直線和橢圓的位置關(guān)系，難度較大，解題時要仔細(xì)審題，注意公式的靈活運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓E1方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，圓E2方程為x2+y2=a2，過橢圓的左頂點A作斜率為k1直線l1與橢圓E1和圓E2分別相交于B、C． 
（Ⅰ）若k1=1時，B恰好為線段AC的中點，試求橢圓E1的離心率e；
（Ⅱ）若橢圓E1的離心率e=
1
2
，F(xiàn)2為橢圓的右焦點，當(dāng)|BA|+|BF2|=2a時，求k1的值；
（Ⅲ）設(shè)D為圓E2上不同于A的一點，直線AD的斜率為k2，當(dāng)
k1
k2
=
b2
a2
時，試問直線BD是否過定點？若過定點，求出定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年廣東省廣州市海珠區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓E1方程為，圓E2方程為x2+y2=a2，過橢圓的左頂點A作斜率為k1直線l1與橢圓E1和圓E2分別相交于B、C． 
（Ⅰ）若k1=1時，B恰好為線段AC的中點，試求橢圓E1的離心率e；
（Ⅱ）若橢圓E1的離心率e=，F(xiàn)2為橢圓的右焦點，當(dāng)|BA|+|BF2|=2a時，求k1的值；
（Ⅲ）設(shè)D為圓E2上不同于A的一點，直線AD的斜率為k2，當(dāng)時，試問直線BD是否過定點？若過定點，求出定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年廣東省廣州市七區(qū)聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓E1方程為，圓E2方程為x2+y2=a2，過橢圓的左頂點A作斜率為k1直線l1與橢圓E1和圓E2分別相交于B、C． 
（Ⅰ）若k1=1時，B恰好為線段AC的中點，試求橢圓E1的離心率e；
（Ⅱ）若橢圓E1的離心率e=，F(xiàn)2為橢圓的右焦點，當(dāng)|BA|+|BF2|=2a時，求k1的值；
（Ⅲ）設(shè)D為圓E2上不同于A的一點，直線AD的斜率為k2，當(dāng)時，試問直線BD是否過定點？若過定點，求出定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由．

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