Question

11．已知$\frac{π}{2}$＜α＜π，0＜β＜$\frac{π}{2}$，tanα=-$\frac{3}{4}$，cos（β-α）=$\frac{5}{13}$，則sinβ的值為$\frac{63}{65}$．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosα，sinα的值，由角的范圍結(jié)合cos（β-α）=$\frac{5}{13}$＞0，可得范圍：-$\frac{π}{2}$＜β-α＜0，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin（β-α），由角關(guān)系β=（β-α）+α，利用兩角和的正弦函數(shù)公式即可計算求值．

解答 解：∵$\frac{π}{2}$＜α＜π，tanα=-$\frac{3}{4}$，
∴cosα=-$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}}$=-$\frac{4}{5}$，sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{3}{5}$，
∵0＜β＜$\frac{π}{2}$，可得：-π＜β-α＜0，
又∵cos（β-α）=$\frac{5}{13}$＞0，可得：-$\frac{π}{2}$＜β-α＜0，
∴sin（β-α）=-$\sqrt{1-co{s}^{2}（β-α）}$=-$\frac{12}{13}$，
∴sinβ=sin[（β-α）+α]=sin（β-α）cosα+cos（β-α）sinα=（-$\frac{12}{13}$）×（-$\frac{4}{5}$）+$\frac{5}{13}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{63}{65}$．
故答案為：$\frac{63}{65}$．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于基礎(chǔ)題．