Question

動(dòng)圓C過(guò)定點(diǎn)（1，0），且與直線x=-1相切．設(shè)圓心C的軌跡Γ方程為F（x，y）=0
（1）求F（x，y）=0；
（2）曲線Γ上一定點(diǎn)P（1，2），方向向量的直線l（不過(guò)P點(diǎn)）與曲線Γ交與A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線PA、PB斜率分別為k_PA，k_PB，計(jì)算k_PA+k_PB；
（3）曲線Γ上的一個(gè)定點(diǎn)P（x，y），過(guò)點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PM，PN分別與曲線Γ交于M，N兩點(diǎn)，求證直線MN的斜率為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)點(diǎn)C作直線x=-1的垂線，垂足為N，由題意知：|CF|=|CN|，由拋物線的定義知，點(diǎn)C的軌跡為拋物線．
（2）設(shè) A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由題得直線的斜率-1，過(guò)不過(guò)點(diǎn)P的直線方程為y=-x+b，代入拋物線方程得y²+4y-4b=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式，計(jì)算 的值，從而得出結(jié)論．
（3）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），計(jì)算 的解析式．設(shè)MP的直線方程為y-y=k（x-x），代入拋物線方程利用根與系數(shù)的關(guān)系求得 y₁+y₂的值，從而求得k_MN的值，從而得出結(jié)論．
解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)C作直線x=-1的垂線，垂足為N，由題意知：|CF|=|CN|，
即動(dòng)點(diǎn)C到定點(diǎn)F與定直線x=-1的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)C的軌跡為拋物線．
其中（1，0）為焦點(diǎn)，x=-1為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為y²=4x．
（2）證明：設(shè) A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由題得直線的斜率-1．
過(guò)不過(guò)點(diǎn)P的直線方程為y=-x+b，由  得  y²+4y-4b=0，則y₁+y₂=-4．
由于P（1，2），=
===0．
（3）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則 ==（***）．
設(shè)MP的直線方程為y-y=k（x-x），
由，可得，
則，∴．
同理，得．
代入（***）計(jì)算得：y₁+y₂=-2y₀ ，∴（為定值）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的定義，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，直線的斜率公式，屬于中檔題．