Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，AB⊥BP，M為AC的中點(diǎn)，N為PD上一點(diǎn)．
（1）若MN∥平面ABP，求證：N為PD的中點(diǎn)；
（2）若平面ABP⊥平面APC，求證：PC⊥平面ABP．

Answer 1

分析 （1）連接BD，由四邊形ABCD為矩形得：M為AC和BD的中點(diǎn)，證明MN∥BP，即可證明N為PD的中點(diǎn)；
（2）若平面ABP⊥平面APC，過點(diǎn)B作BE⊥AP于E，則BE⊥平面APC，證明：AB⊥PC，BE⊥PC，即可證明PC⊥平面ABP．

解答 證明：（1）連接BD，由四邊形ABCD為矩形得：M為AC和BD的中點(diǎn)，
∵M(jìn)N∥平面ABP，MN?平面BPD，平面BPD∩平面ABP=BP，
∴MN∥BP，…（4分）
∵M(jìn)為AC的中點(diǎn)，∴N為PD的中點(diǎn)．…（6分）
（2）在△ABP中，過點(diǎn)B作BE⊥AP于E，
∵平面ABP⊥平面APC，平面ABP∩平面APC=AP，BE?平面ABP，BE⊥AP
∴BE⊥平面APC，…（9分）
又PC?平面APC，∴BE⊥PC．
∵ABCD為矩形，∴AB⊥BC，又AB⊥BP，BC∩BP=B，BC，BP?平面BPC，
∴AB⊥平面BPC，…（12分）
∴AB⊥PC，
又BE⊥PC，AB?平面ABP，BE?平面ABP，AB∩BE=B，
∴PC⊥平面ABP． …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的性質(zhì)、線面垂直的判定、面面垂直的判定；考查空間想象能力和識(shí)圖能力，考查規(guī)范化書寫表達(dá)能力．