Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+x²+ax-5．
（1）若函數(shù)在（-∞，+∞）總是單調(diào)函數(shù)，求：實數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)在區(qū)間（-3，1）上單調(diào)遞減，求：實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于等于0或大于等于0在R內(nèi)恒成立，分離出參數(shù)a，求出函數(shù)的范圍，得到a的范圍．
（2）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于等于0在（-3，1）內(nèi)恒成立，分離出參數(shù)a，求出函數(shù)的范圍，得到a的范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³+x²+ax-5．
∴f′（x）=x²+2x+a．
∵函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）總是單調(diào)函數(shù)，
∴f′（x）≥0，或f′（x）≤0恒成立，
當(dāng)f′（x）≥0
即x²+2x+a≥0，
∴a≥-x²-2x=-（x+1）²+1
解得，a≥1，
當(dāng)f′（x）≤0，
即x²+2x+a≤0恒成立不成立，
故實數(shù)a的取值范圍是[1，+∞），
（2）∵f（x）=

1

3

x³+x²+ax-5在區(qū)間（-3，1）上單調(diào)遞減，
∴f′（x）=x²+2x+a≤0在區(qū)間（-3，1）上恒成立，
即a≤-x²-2x=-（x+1）²+1在在區(qū)間（-3，1）上恒成立，
設(shè)g（x）=-（x+1）²+1，
∴g（x）min=-3，
∴a≤-3
故實數(shù)a的取值范圍（-∞，-3]

點評：本題駐澳考查了函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性已知求參數(shù)的范圍的問題，遞增時令導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立；遞減時，令導(dǎo)數(shù)小于等于0恒成立．