Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足3S_n=（n+2）a_n（n∈N^*），其中S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，a₁=2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和為T(mén)_n是否存在無(wú)限集合M，使得當(dāng)n∈M時(shí)，總有$|{{T_n}-1}|＜\frac{1}{10}$成立？若存在，請(qǐng)找出一個(gè)這樣的集合；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由3S_n=（n+2）a_n得3S_n-1=（n+1）a_n-1（n≥2），二式相減得3a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1f（x）
$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{n+1}{n-1}$（n≥2）疊乘得a_n=n（n+1）；
（2）$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{{n（{n+1}）}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，${T_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$$+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+…+$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$，
令$|{{T_n}-1}|=|{\frac{n}{n+1}-1}|$=$\frac{1}{n+1}＜\frac{1}{10}$得n＞9．

解答 解：（1）由3S_n=（n+2）a_n得3S_n-1=（n+1）a_n-1（n≥2），
二式相減得3a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1f（x）
∴$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{n+1}{n-1}$（n≥2）
∴$\frac{{{a_{n-1}}}}{{{a_{n-2}}}}=\frac{n}{n-2}$；…；$\frac{a_3}{a_2}=\frac{4}{2}$；$\frac{a_2}{a_1}=\frac{3}{1}$；a₁=2
疊乘得a_n=n（n+1）；
（2）$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{{n（{n+1}）}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${T_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$$+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+…+$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$，
令$|{{T_n}-1}|=|{\frac{n}{n+1}-1}|$=$\frac{1}{n+1}＜\frac{1}{10}$得n＞9
故滿(mǎn)足條件的M存在，集合M={n|n＞9，n∈N^*}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推式，疊乘求通項(xiàng)，裂項(xiàng)求和，屬于中檔題．