Question

設函數f（x）=x-ae^x-1．
（I）求函數f（x）單調區(qū)間；
（II）若f（x）≤0對x∈R恒成立，求a的取值范圍；
（III）對任意n的個正整數a₁，a₂，…a_n記A=
（1）求證：（i=1，2，3…n）（2）求證：A．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據已知中的函數的解析式，我們易求出函數的導函數的解析式，分類討論導函數的符號，即可得到答案．
（II）根據（I）的結論我們易當a≤0時，f（x）≤0不恒成立，當a＞0時，僅須函數的最大值小于0即可，由此構造關于a的不等式即可得到答案．
（III）（1）由（II）的結論我們可以得到f（x）=x-e^x-1≤0恒成立，故（i=1，2，3…n）成立；（2）結合（1）的結論，我們分別取i=1，2，3…n，i=1，2，3…n，得到n個不等式，根據不等式的性質相乘后，即可得到結論．
解答：解：（I）∵函數f（x）=x-ae^x-1．
∴函數f′（x）=1-ae^x-1．
當a≤0時，f′（x）＞0，則f（x）在R上是增函數
當a＞0時，令f′（x）=0得x=1-lna，則f（x）在區(qū)間（-∞，1-lna）上是增函數，在區(qū)間（1-lna，+∞）上是減函數
綜上可知：當a≤0時，f（x）在R上是增函數；當a＞0時，f（x）在區(qū)間（-∞，1-lna）上是增函數，在區(qū)間（1-lna，+∞）上是減函數．
（II）由（I）可知：當a≤0時，f（x）≤0不恒成立
當a＞0時，f（x）在點x=1-lna時取最大值-lna，
令-lna≤0，則a≥1
故若f（x）≤0對x∈R恒成立，則a的取值范圍為[1，+∞）
（III）（1）由（II）知：當a=1時恒有f（x）=x-e^x-1≤0成立
即x≤e^x-1
∴
（2）由（1）知：，，…，
把以上n個式子相乘得≤=1
∴Aⁿ≥a₁•a₂•_…•a_n
故
點評：本題考查的知識點是利用導數求函數的單調性，函數單調性的性質，不等式的性質，其中根據已知條件中函數的解析式，求出導函數的解析式，并分析導函數的符號是解答本題的關鍵．