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已知f(x)＝lnx－ax2－bx．

(1)若a＝－1，函數f(x)在其定義域內是增函數，求b的取值范圍；

(2)當a＝1，b＝－1時，證明函數f(x)只有一個零點；

(3)f(x)的圖象與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1＜x2)兩點，AB中點為C(x0，0)，求證：(x0)＜0．

答案：
解析：

　　解析：(1)依題意：f(x)＝lnx＋x2－bx．

　　∵f(x)在(0，＋∞)上遞增，∴對x∈(0，＋∞)恒成立，

　　即對x∈(0，＋∞)恒成立，只需．　2分

　　∵x＞0，∴，當且僅當時取“＝”，

　　∴，∴b的取值范圍為．　4分

　　(2)當a＝1，b＝－1時，f(x)＝lnx－x2＋x，其定義域是(0，＋∞)，

　　∴．

　　∵x＞0，∴當0＜x＜1時，(x)＞0；當x＞1時，(x)＜0．

　　∴函數f(x)在區(qū)間(0，1)上單調遞增，在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞減．　6分

　　∴當x＝1時，函數f(x)取得最大值，其值為f(1)＝ln1－12＋1＝0；

　　當x≠1時，f(x)＜f(1)，即f(x)＜0，∴函數f(x)只有一個零點．　8分

　　(3)由已知得，

　　兩式相減，得

　　．　10分

　　由及2x0＝x1＋x2，得

　　

　　

　　令．

　　∵，∴(t)在(0，1)上遞減，∴(t)＞(1)＝0．

　　∵x1＜x2，∴(x0)＜0．　13分


練習冊系列答案
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(本題13分)

已知f(x)＝lnx＋x2－bx.

(1)若函數f(x)在其定義域內是增函數，求b的取值范圍；

(2)當b＝－1時，設g(x)＝f(x)－2x2，求證函數g(x)只有一個零點．

 

 

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