Question

15．已知函數(shù)f（x）=x³+x²f'（1）．
（1）求f'（1）和函數(shù)x的極值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=a有3個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）直線l為曲線y=f（x）的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)f′（x）=3x²+2f'（1）x，f′（1）=3+2f'（1），解得：f′（1）=-3，則f′（x）=3x（x-2），令f′（x）=0，解得：x=0，x=2，由函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即可求得f（x）的極值；
（2）由題意可知：y=a與f（x）有三個(gè)不同的交點(diǎn)，利用函數(shù)的圖象即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)切點(diǎn)（x₀，x₀³-3x₀²），斜線斜率k=3x₀²-6x₀，求得切線方程，由函數(shù)過（0，0），即可求得x₀，即可求得直線l的方程．

解答 解：（1）由f（x）=x³+x²f'（1），求導(dǎo)f′（x）=3x²+2f'（1）x，
則f′（1）=3+2f'（1），解得：f′（1）=-3，
∴f（x）=x³-3x²，f′（x）=3x（x-2），
令f′（x）=0，解得：x=0，x=2，
由x，f′（x），f（x）變化，

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值0	↓	極小值-4	↑

則當(dāng)x=0，f（x）取極大值0，當(dāng)x=2時(shí)，取極小值-4；
（2）由題意可知：y=a與f（x）有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
由函數(shù)圖象可知：

∴-4＜a＜0，
（3）設(shè)切點(diǎn)（x₀，x₀³-3x₀²），切線斜率k=3x₀²-6x₀，
則切線方程y-（x₀³-3x₀²）=（3x₀²-6x₀）（x-x₀），
由切線過（0，0），則-x₀³+3x₀²=-x₀（3x₀²-6x₀），解得：x₀=0，或x₀=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)x₀=0，切線k=0，切線方程y=0，
當(dāng)x₀=$\frac{3}{2}$，切點(diǎn)（$\frac{3}{2}$，-$\frac{27}{8}$），切線k=-$\frac{9}{4}$，切線方程y=-$\frac{9}{4}$x，
直線l的方程y=0或y=-$\frac{9}{4}$x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及極值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．