Question

某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2株．設甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和P，且各株大樹是否成活互不影響．已知兩種大樹各成活1株的概率為．
（Ⅰ）求P的值；
（Ⅱ）求甲種大樹成活的株數(shù)大于乙種大樹成活的株數(shù)的概率；
（Ⅲ）用x，y分別表示甲、乙兩種大樹成活的株數(shù)，記ξ=|X-Y|，求隨機變量ξ的分布列與數(shù)學期望Eξ．

Answer 1

解：設“甲種大樹恰有i株成活”為事件A_i（i=0，1，2），則P（A_i）=；
設“乙種大樹恰有i株成活”為事件B_i（i=0，1，2），則P（B_i）=．
（Ⅰ）兩種大樹各成活1株的概率P=P（A₁B₁）
=×=，即（2P-1）²=0，
解得P= …（3分）
（Ⅱ）設“甲種大樹成活的株數(shù)大于乙種大樹成活的株數(shù)”為事件C，
則P（C）=P（A₂B₁）+P（A₂B₀）+P（A₁B₀）
=++=
所以，甲種大樹成活的株數(shù)大于乙種大樹成活的株數(shù)的概率為．…（6分）
（Ⅲ）由題意知，ξ所有可能取值為0，1，2．…（7分）
P（ξ=0）=P（A₂B₂）+P（A₁B₁）+P（A₀B₀）
=++=，
P（ξ=2）=P（A₂B₀）+P（A₀B₂）=+=，
∴
所以ξ服從的分布列為：

ξ	0	1	2
P

…（10分）
故…（12分）
分析：設“甲種大樹恰有i株成活”為事件A_i（i=0，1，2），則P（A_i）=，設“乙種大樹恰有i株成活”為事件B_i（i=0，1，2），則P（B_i）=．
（Ⅰ）由題意可得兩種大樹各成活1株的概率P=P（A₁B₁），代入可得P的方程，解之可得；
（Ⅱ）設事件為C，則P（C）=P（A₂B₁）+P（A₂B₀）+P（A₁B₀），代入可得；
（Ⅲ）ξ所有可能取值為0，1，2，分別可求其概率，可得分布列，由期望的定義可得答案．
點評：本題考查離散型隨機變量及其分布列，涉及數(shù)學期望的求解，屬中檔題．