Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax-1，a∈R
（Ⅰ）求f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=

1

x

+a，由此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出切線方程．
（Ⅱ）解法一：由已知得x＞0，f′（x）=

1+ax

x

，由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．
（Ⅱ）解法二：由已知得原不等式等價于a≤

-lnx-1

x

，令h（x）=

-lnx-1

x

，由此利用構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答： （Ⅰ）解：∵x＞0，f′（x）=

1

x

+a，…3分
∴f′（1）=a+1，切點是（1，a+1），…5分
所以切線方程為y-（a+1）=（a+1）（x-1），即y=（a+1）x．…6分
（Ⅱ）解法一：∵x＞0，f′（x）=

1+ax

x

，
①當(dāng)a≥0 時x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x），單調(diào)遞增，
顯然當(dāng)x＞1 時，f（x）＞0，f（x）≤0不恒成立．…8分
②當(dāng)a＜0 時，x∈（0，-

1

a

），f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
x∈（-

1

a

，+∞），f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，…10分
∴f（x）_max=f（x）_最大值=f（-

1

a

）=ln≤0（-

1

a

），∴a≤-1，
所以不等式f（x）≤0 恒成立時，a的取值范圍（-∞，-1]…14分
（Ⅱ）解法二：∵x＞0 所以不等式f（x）≤0 恒成立，等價于
ax≤=-lnx-1，即a≤

-lnx-1

x

令h（x）=

-lnx-1

x

，
則h′（x）=-

1-lnx

x2

+

1

x2

=

lnx

x2

，當(dāng) x∈（0，1）時，
h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1，+∞） 時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．…12分
∴h（x）_min=h（x）_最小值=h（1）=-1，∴a≤-1．
∴不等式f（x）≤0 恒成立時，a的取值范圍（-∞，-1]．…14分

點評：本題重點考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力，分類討論等綜合解題能力，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．