Question

若函數(shù)f（x）=

x

x+2

（x＞0），且f₁（x）=f（x）=

x

x+2

，當n∈N^*且n≥2時，f_n（x）=f[f_n-1（x）]，猜想f_n（x）（n∈N^*）的表達式

 

．

Answer 1

考點：歸納推理

專題：操作型,推理和證明

分析：由已知f（x）=

x

x+2

（x＞0），且f₁（x）=f（x）=

x

x+2

，則易得f₂（x）、f₃（x）的表達式，根據(jù)三個表達式，我們歸納出變化規(guī)律，進而推斷出f_n（x）（n∈N^*）的表達式．

解答： 解：∵f₁（x）=f（x）=

x

x+2

，當n∈N^*且n≥2時，f_n（x）=f[f_n-1（x）]，
∴f₂（x）=f[f₁（x）]=

f1(x)

f1(x)+2

=

x x+2

x x+2 +2

=

x

3x+4

，f₃（x）=f[f₂（x）]=

x 3x+4

x 3x+4 +2

=

x

7x+8

，
猜想f_n（x）=

x

(2n-1)x+2n

．
故答案為：f_n（x）=

x

(2n-1)x+2n

．

點評：猜想是課改的一個亮點，也是近年高考的一個熱點．歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．