Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足S_n+a_n=2n+1（n∈N^*），其中S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）求出a₁，a₂，a₃，并推測(cè)數(shù)列{a_n}的表達(dá)式；
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題設(shè)條件，可求a₁，a₂，a₃的值，猜想{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟對(duì)這個(gè)猜想加以證明．

解答 解：（Ⅰ）${a_1}=\frac{3}{2}$，${a_2}=\frac{7}{4}$，${a_3}=\frac{15}{8}$，猜測(cè) ${a_n}=2-\frac{1}{2^n}$，
（Ⅱ）證明：①由（1）知當(dāng)n=1時(shí)，命題成立； 
 ②假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，即 ${a_k}=2-\frac{1}{2^k}$，
當(dāng)n=k+1時(shí)，a₁+a₂+…+a_k+a_k+1+a_k+1=2（k+1）+1，
且a₁+a₂+…+a_k=2k+1-a_k∴2k+12k+1-a_k+2a_k+1=2（k+1）+1=2k+3，
∴$2{a_{k+1}}=2+2-\frac{1}{2^k}$，${a_{k+1}}=2-\frac{1}{{{2^{k+1}}}}$，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立．
根據(jù)①②得n∈N^*，${a_n}=2-\frac{1}{2^n}$都成立

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個(gè)步驟：（1）驗(yàn)證n=1成立；（2）假設(shè)n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證，這是數(shù)列的通項(xiàng)一種常用求解的方法