Question

在等差數列{a_n}中，滿足2a₄＝5a₇，且a₁＞0，S_n是數列{a_n}的前n項和，若S_n取最大值時，求n的值．

Answer 1

答案：
解析：

思路與技巧：解決此題的關鍵，應先根據條件求通項，再根據等差數列特點，求使Sn最大時的n值． 　　 　　 　　評析：公差不為0的等差數列：①通項公式結構an＝kn＋b，故a1＞0且d＜0時，Sn有最大值；當a1＜0且d＞0時，Sn有最小值．②前n項和公式結構Sn＝an2＋bn，當d＞0時為開口向上的拋物線；當d＜0時為開口向下的拋物線，利用二次函數性質并結合圖象可使問題更加直觀，揭示問題本質．其實求等差數列前n項和的最值一般就兩個思路． 　　思路一：(1)若d＞0且a1≥0，則有0≤a1＜a2＜a3＜…＜an－1＜an＜… 　　∴S1＜S2＜S3＜…＜Sn－1＜Sn＜… 　　∴Sn的最小值是S1． 　　(2)若d＞0，且a1＜0， 　　則一定存在某一自然數k，使a1＜a2＜a3＜…＜ak≤0＜ak+1＜ak+2＜…＜an－1＜an＜… 　　或a1＜a2＜a3＜…＜ak＜0≤ak+1＜ak+2＜…＜an－1＜an＜… 　　則0＞S1＞S2＞…＞Sk，且Sk＜Sk+1＜Sk+2＜…＜Sn＜… 　　∴Sn的最小值是Sk． 　　(3)若d＜0，而a1＞0，必存在自然數k使a1＞a2＞a3＞…＞ak≥0＞ak+1＞ak+2＞…＞an＞…或a1＞a2＞a3＞…＞ak＞0≥ak+1＞ak+2＞…＞an＞… 　　則S1＜S2＜S3＜…＜Sk，且Sk＞Sk+1＞…＞Sn＞… 　　∴Sn的最大值是Sk． 　　(4)若d＜0，且a1≤0，則有0≥a1＞a2＞a3＞…＞an－1＞an＞… 　　∴S1＞S2＞S3＞…＞Sn－1＞Sn＞… 　　∴Sn的最大值是S1．