Question

13．若（x$\sqrt{x}$+$\frac{1}{{x}^{4}}$）ⁿ的展開式中，第二、三、四項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列．
（1）求n的值；
（2）此展開式中是否有常數(shù)項，為什么？

Answer 1

分析 （1）由題意可得$C_n^1+C_n^3=2C_n^2$，解方程可求n；
（2）先寫出二項展開式的通項，然后令x的次方為0，求出r即可判斷．

解答 解：（1）由$C_n^1+C_n^3=2C_n^2$，（n≥3）得：$n+\frac{n（n-1）（n-2）}{6}=2×\frac{n（n-1）}{2}$；
化簡得：n²-9n+14=0，解得：n=7，或n=2（舍），
因此，n=7---------（6分）
（2）由${T_{r+1}}=C_7^r•{（{x^{\frac{3}{2}}}）^{7-r}}•{（{x^{-4}}）^r}=C_7^r•{x^{\frac{21-11r}{2}}}$，（r∈N，且0≤r≤7）
當$\frac{21-11r}{2}=0$時，$r=\frac{21}{11}∉N$，
所以此展開式中不存在常數(shù)項．---------（12分）

點評 本題主要考查了二項展開式的系數(shù)性質及展開式的通項的應用，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．