Question

2．已知數(shù)列{a_n}中a₁=3，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+1}$．
（1）求出a₂，a₃，a₄的值；
（2）利用（1）的結(jié)論歸納出它的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）分別根據(jù)遞推公式代值計(jì)算即可，
（2）由（1）猜想出結(jié)論，并根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明即可，

解答 解：（1）a₂=$\frac{3}{4}$，a₃=$\frac{3}{7}$，a₄=$\frac{3}{10}$，
（2）猜測(cè)：a_n=$\frac{3}{3n-2}$
證明如下：
1．當(dāng)n=1時(shí)顯然成立，
2．設(shè)n=k時(shí)成立即a_k=$\frac{3}{3k-2}$，
則當(dāng)n=k+1時(shí)有a_k+1=$\frac{{a}_{k}}{{a}_{k}+1}$=$\frac{\frac{3}{3k-2}}{\frac{3}{3k-2}+1}$=$\frac{3}{3k+1}$=$\frac{3}{3（k+1）-2}$，
所以成立由1，2可知n∈一切自然數(shù)均成立，所以猜測(cè)正確．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．