Question

18．如圖欲在直角區(qū)域ABC內(nèi)的空地上植造一塊“綠地Rt△ABD”，D在BC邊上．其中AB=1，設(shè)BD=x（x＞0）且BC足夠長(zhǎng)，規(guī)劃在△ABD的內(nèi)接正方形BEFG內(nèi)種花，其余地方種草，種草的面積為S₁，種花的面積為S₂，比值$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$稱(chēng)為“完美度”．
（1）用x表示出S₂；
（2）求完美度f(wàn)（x）=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的最小值且此時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)正方形BEFG的邊長(zhǎng)為t，利用三角形的相似求出S₂；
（2）求出S₁；$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{（1+x）^{2}}{2x}$-1=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{x}$≥1，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)正方形BEFG的邊長(zhǎng)為t，
則由$\frac{FG}{AB}=\frac{DG}{DB}$得$\frac{t}{1}=\frac{x-t}{x}$，∴t=$\frac{x}{1+x}$，…（4分）
∴S₂=$\frac{{x}^{2}}{（1+x）^{2}}$；…（6分）
（2）S₁=$\frac{1}{2}x$-S₂，$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{（1+x）^{2}}{2x}$-1=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{x}$≥1，…（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)完美度f(wàn)（x）=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的最小值是1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．