Question

如圖，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°．
（Ⅰ）證明：BD⊥AA₁；
（Ⅱ）在直線CC₁上是否存在點P，使BP∥平面DA₁C₁？若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）過A₁作A₁O⊥AC于點O，根據(jù)已知的面面垂直，結合平面與平面垂直的性質定理得到A₁O⊥平面ABCD，因此BD⊥A₁O，再由菱形的對角線互相垂直得出AC⊥BD，最后結合直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定與性質，可得BD⊥AA₁；
（II）在C₁C的延長線上取點P，使C₁C=CP，連接BP，結合四邊形A₁B₁CD為平行四邊形，得到BB₁、CC₁、CP互相平行且相等，可得四邊形BB₁CP為平行四邊形，所以存在直線CC₁上是否存在點P，使BP∥平面DA₁C₁．
解答：解：過A₁作A₁O⊥AC于點O，由于平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，由面面垂直的性質定理知，A₁O⊥平面ABCD，
又底面為菱形，所以AC⊥BD．
…（6分）
（Ⅱ）存在這樣的點P，連接B₁C，因為A₁B₁AB_DC
∴四邊形A₁B₁CD為平行四邊形．∴A₁D∥B₁C
在C₁C的延長線上取點P，使C₁C=CP，連接BP                       …（8分）
因B1BCC₁，…（12分）
∴BB₁CP∴四邊形BB₁CP為平行四邊形
則BP∥B₁C∴BP∥A₁D∴BP∥平面DA₁C₁                      …（14分）
點評：本題考查了直線與平面平行、垂直的判定與性質等定理，屬于中檔題．著重考查利用中位線，構造平行四邊形等方法進行平行的傳遞，以及從線面垂直到面面垂直和線線垂直的相互轉化的能力，對空間思維有較高的能力要求．