Question

12．已知$\overrightarrow{OA}$=（1，2，3），$\overrightarrow{OB}$=（2，1，2），$\overrightarrow{OC}$=（1，1，2），點(diǎn)M在直線OC上運(yùn)動(dòng)，則$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的最小值為$-\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 利用向量共線定理和數(shù)量積運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性等即可得出．

解答 解：設(shè)M（x，y，z），
∵點(diǎn)M在直線OC上運(yùn)動(dòng)，
∴存在實(shí)數(shù)λ，使得$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OC}$，
∴（x，y，z）=λ（1，1，2），得到x=λ，y=λ，z=2λ．
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（1-λ，2-λ，3-2λ）•（2-λ，1-λ，2-2λ）
=（1-λ）（2-λ）+（2-λ）（1-λ）+（3-2λ）（2-2λ）=6λ²-16λ+10=$6（λ-\frac{4}{3}）^{2}-\frac{2}{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$λ=\frac{4}{3}$時(shí)，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$取得最小值．
此時(shí)M$（\frac{4}{3}，\frac{4}{3}，\frac{8}{3}）$．最小值為$-\frac{2}{3}$，
故答案為：$-\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量數(shù)量積的計(jì)算，熟練掌握向量共線定理和數(shù)量積運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵．