Question

已知橢圓C₁的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為為橢圓上一動點，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點，且△PF₁F₂面積的最大值為．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)橢圓短軸的上端點為A、M為動點，且成等差數(shù)列，求動點M的軌跡C₂的方程；
（3）過點M作C₂的切線l交于C₁與Q、R兩點，求證：．

Answer 1

（1）解：設(shè)橢圓C₁的方程為，∴，所以a=2b．
由橢圓幾何性質(zhì)知，當(dāng)P為橢圓的短袖端點時，△PF₁F₂的面積最大，故，∴a=2，b=1，
故所求橢圓方程為；
（2）解：由（1）知A（0，1），F(xiàn)₁=（），設(shè)M（x，y）則
由題意得，∴
整理得M的軌跡C₂的方程為；
（3）證明：l的斜率存在時，設(shè)l方程為y=kx+m，代入橢圓方程并整理得（1+4k²）x²+8mkx+4m²-4=0．
△=（8km）²-16（m²-1）（1+4k²）＞0，
設(shè)Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），∴
所以，
則=
又因為l與C₂相切，所以，∴5m²-4k²-4=0
所以，
當(dāng)l的斜率不存在時，l：x=，代入橢圓方程解得或，此時
綜上所述，
分析：（1）設(shè)橢圓C₁的方程，利用離心率為，可得a=2b．由橢圓幾何性質(zhì)知，當(dāng)P為橢圓的短袖端點時，△PF₁F₂的面積最大，根據(jù)△PF₁F₂面積的最大值為，建立方程，即可求得橢圓C₁的方程；
（2）用坐標表示向量，利用成等差數(shù)列，建立方程，整理可得M的軌跡C₂的方程；
（3）l的斜率存在時，設(shè)l方程代入橢圓方程，利用韋達定理，借助于坐標表示，結(jié)合l與C₂相切，可得；當(dāng)l的斜率不存在時，l：x=，代入橢圓方程，求出Q，R的坐標，即可證得結(jié)論．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．