Question

已知橢圓C：

x2

4

+

y2

16 3

=1，過橢圓焦點(diǎn)F₁作直線l交橢圓于M、N兩點(diǎn)．設(shè)線段MN的中點(diǎn)為P，若S△PF1F2=

1

3

，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由橢圓C：

x2

4

+

y2

16 3

=1，可得c=

a2-b2

=

2 3

3

．取F1(0，

2 3

3

)．設(shè)直線l的方程為：y=kx+

2 3

3

．設(shè)線段MN的中點(diǎn)P（x₀，y₀）．利用S△PF1F2=

1

3

，解得x₀．直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解得k．

解答： 解：由橢圓C：

x2

4

+

y2

16 3

=1，可得a²=

16

3

，b²=4，∴c=

a2-b2

=

2 3

3

．
∴|F₁F₂|=2c=

4 3

3

．
取F1(0，

2 3

3

)．
設(shè)直線l的方程為：y=kx+

2 3

3

．
設(shè)線段MN的中點(diǎn)P（x₀，y₀），
∵S△PF1F2=

1

3

，∴

1

2

×2c•|x0|=

1

3

，
∴

2 3

3

|x0|=

1

3

，
解得x0=±

3

6

．
聯(lián)立

y=kx+ 2 3 3 x2 4 + 3y2 16 =1

，化為(4+3k2)x2+4

3

kx-12=0，
∴x1+x2=-

4 3 k

4+3k2

=2x₀，x0=±

3

6

，
化為3k²±12k+4=0，
解得k=

±6±2 6

3

．
∴直線l的方程為：y=

±6±2 6

3

x+

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線方程與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．