Question

已知函數

（Ⅰ）若在（0，）單調遞減，求a的最小值

（Ⅱ）若有兩個極值點，求a的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）a的最小值為1; （Ⅱ）(0，1)．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將“f(x)在（0，）單調遞減”轉化為“"x∈(0，＋∞)，a≥”，然后才有構造函數的思想求解函數的最大值即可；（Ⅱ）通過對參數a        與1的討論，借助求導的方法研究函數的單調性，進而分析保證有兩個極值點的條件，通過解不等式求解求a的取值范圍.

                                              

試題解析：（Ⅰ）f¢(x)＝lnx＋1－ax．

f(x)單調遞減當且僅當f¢(x)≤0，即"x∈(0，＋∞)，

a≥．                                                                                                                          ①

設g(x)＝，則g¢(x)＝－．

當x∈(0，1)時，g¢(x)＞0，g(x)單調遞增；

當x∈(1，＋∞)時，g¢(x)＜0，g(x)單調遞減．

所以g(x)≤g(1)＝1，故a的最小值為1．                                                              5分

（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，當a≥1時，f(x)沒有極值點．

（2）當a≤0時，f¢(x)單調遞增，f¢(x)至多有一個零點，f(x)不可能有兩個極值點． 7分

（3）當0＜a＜1時，設h(x)＝lnx＋1－ax，則h¢(x)＝－a．

當x∈(0，)時，h¢(x)＞0，h(x)單調遞增；

當x∈(，＋∞)時，h¢(x)＜0，h(x)單調遞減．                                                     9分

因為f¢()＝h()＝ln＞0，f¢()＝h()＝－＜0，

所以f(x)在區(qū)間(，)有一極小值點x₁．                                                            10分

由（Ⅰ）中的①式，有1≥，即lnx≤x－1，則ln≤－1，

故f¢()＝h()＝ln2＋2ln＋1－≤ln2＋2(－1)＋1－＝ln2－1＜0．

所以f(x)在區(qū)間(，)有一極大值點x₂．

綜上所述，a的取值范圍是(0，1)．       

考點：1.函數的單調性、極值和最值；2.不等式恒成立.