Question

點(diǎn)P是圓x²+y²=16上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作D垂直于x軸，垂足為D，Q為線(xiàn)段PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求點(diǎn)Q的軌跡方程．
（Ⅱ）已知點(diǎn)M（1，1）為上述所求方程的圖形內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作弦AB，若點(diǎn)M恰為弦AB的中點(diǎn)，求直線(xiàn)AB的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)Q（x，y），P（x₀，y₀），則D（x₀，0），
∵Q為線(xiàn)段PD的中點(diǎn)，∴，即，
∵P（x₀，y₀）在圓x²+y²=16上，
∴x₀²+y₀²=16，
∴x²+（2y）²=16，即為所求．…（5分）
（Ⅱ）依題意顯然AB的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)AB的斜率為k，
則AB的方程可設(shè)為y-1=k（x-1）．
由，得x²+4（kx+1-k）²=16，
得（1+4k²）x+8k（1-k）x+4（1-k）²-16=0…（8分）
設(shè)，
而M（1，1）是AB中點(diǎn)，則，
∴，，解得k=-．
∴直線(xiàn)AB的方程為，即x+4y-5=0…（12分）
分析：（Ⅰ）設(shè)Q（x，y），P（x₀，y₀），則D（x₀，0），由Q為線(xiàn)段PD的中點(diǎn)，知，由P（x₀，y₀）在圓x²+y²=16上，知x₀²+y₀²=16，由此能求出點(diǎn)Q的軌跡方程．
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y-1=k（x-1）．由，得（1+4k²）x+8k（1-k）x+4（1-k）²-16=0，設(shè)，而M（1，1）是AB中點(diǎn)，則，由此能求出直線(xiàn)方程．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線(xiàn)與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．