Question

2．已知△ABC中，D為邊AC上一點(diǎn)，BC=2$\sqrt{2}$，∠DBC=45°．
（Ⅰ）若CD=2$\sqrt{5}$，求△BCD的面積；
（Ⅱ）若角C為銳角，AB=6$\sqrt{2}$，sinA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)余弦定理求出BD，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可，
（Ⅱ）根據(jù)正弦定理即可求出sin∠BDC=sin（C+45°）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，再由正弦定理可得答案．

解答 解：（Ⅰ）在△BCD中，由余弦定理：CD²=BC²+BD²-2BC•BD•cos45°，
即20=8+BD²-4BD，
解得BD=6，
所以S_△BCD=$\frac{1}{2}$•BD•BC•sin45°=$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=6
（Ⅱ）由正弦定理可得：$\frac{BC}{sinA}$=$\frac{AB}{sinC}$，即$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}$=$\frac{6\sqrt{2}}{sinC}$，
解得sinC=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
由角C為銳角得cosC=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴sin∠BDC=sin（C+45°）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
在△BCD中，由正弦定理得：$\frac{CD}{sin∠DBC}$=$\frac{BC}{sin∠BDC}$，
即$\frac{CD}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$，
解得CD=$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理和余弦定理和三角形的面積公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．