Question

【題目】過圓：上一動點作軸的垂線，交軸于點，點滿足.

（Ⅰ）求點的軌跡方程；

（Ⅱ）設點的軌跡為曲線，過點的直線交曲線于，兩點，過且與垂直的直線交圓于，兩點，求四邊形面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】

(1) 設點的坐標為，點的坐標為，因為，所以，.

利用點在圓上可得結果；（2）設直線的方程為，

則：，聯(lián)立，消去得，由韋達定理弦長公式可得的值，利用點到直線距離公式與勾股定理可得的值，從而可得四邊形的面積 ，換元后，利用單調性可得結果.

（1）設點的坐標為，點的坐標為，

因為，所以，.

因為點在圓上，所以.

把，代入，得，即，

所以點的軌跡方程為.

（2）若直線與軸重合，則直線與軸垂直，則：，：，則，，于是四邊形的面積.

若直線與軸不重合，設直線的方程為，

則：，

設，，

聯(lián)立，消去得，

所以，，

則 .

易求得圓心到直線：的距離，

所以 .

令，則，

因為，所以.

于是四邊形的面積 ，

所以，所以四邊形面積的取值范圍是.