Question

17．在△ABC中，三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且a、1-b、c成等差數(shù)列，sinA、sinB、sinC成等比數(shù)列，則b的取值范圍是（　　）

• A． $（-∞，\frac{2}{3}）$
• B． $（-∞，\frac{1}{2}]$
• C． $（0，\frac{2}{3}）$
• D． $（0，\frac{1}{2}]$

Answer 1

分析 分別運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項的性質(zhì)，結(jié)合正弦定理和基本不等式，可得b的不等式，解得b的范圍．

解答 解：a、1-b、c成等差數(shù)列，
可得a+c=2（1-b），
由sinA、sinB、sinC成等比數(shù)列，
可得sin²B=sinAsinC，
運用正弦定理可得sinA=$\frac{a}{2R}$，sinB=$\frac{2R}$，sinC=$\frac{c}{2R}$，
即為b²=ac，
由a+c≥2$\sqrt{ac}$可得
2（1-b）≥2b，
則0＜b≤$\frac{1}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列中項的性質(zhì)，以及正弦定理的運用，考查基本不等式的運用，以及不等式的解法，考查運算能力，屬于中檔題．