Question

14．已知二項式（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$）ⁿ的展開式中的第5項為常數，求展開式中x$\sqrt{x}$項的系數．

Answer 1

分析 由條件利用二項式展開式的通項公式，根據當r=4時，$\frac{n-12}{2}$=0，求得n=12，在二項式展開式的通項公式中令x的指數等于$\frac{3}{2}$，求得r的值，可得展開式中x$\sqrt{x}$項的系數．

解答 解：二項式（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$）ⁿ的展開式中的通項公式為T_r+1=${C}_{n}^{r}$•（-2）^r•${x}^{\frac{n-3r}{2}}$，根據題意，當r=4時，$\frac{n-12}{2}$=0，
解得n=12，
故展開式中的通項公式為T_r+1=${C}_{12}^{r}$•（-2）^r•${x}^{\frac{12-3r}{2}}$．
令$\frac{12-3r}{2}$=$\frac{3}{2}$，求得r=3，故展開式中x$\sqrt{x}$項的系數為${C}_{12}^{3}$•（-8）=-1760．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數的性質，二項式展開式的通項公式，屬于基礎題．